Chen, J的部落格

在我在念研究所的時候，發現有些實證研究在一開始做資料處理的時候，會將資料先取自然對數後差分。最近發現這個動作其實在將資料轉換成變動率的概念。

假設我們有一組資料的變動率$r_t, t=1,...,T$及初始值$y_0$，那麼原始資料則可以表示成

\begin{equation}
y_t=y_0\prod _{s=1}^tr_s,~\text{ for }t=1,...,T
\end{equation}

若我們講上式取自然對數，則連乘積變成連加，即

\[
\ln y_t=\ln y_0 +\sum_{s=1}^t \ln r_s ,~\text{ for }t=1,...,T
\] 最後將上式做差分則會得到

\[
\ln y_t-\ln y_{t-1}=\left(\ln y_t +\sum_{s=1}^t \ln r_s \right )-\left(\ln y_t +\sum_{s=1}^{t-1} \ln r_s \right )=\ln r_t
\]

因此可以得到取自然對數後的變動率$\ln r_t$，若再取自然指數e，則會得到資料的變動率，即

\[
\exp \left( \ln y_t-\ln y_{t-1} \right)=r_t
\]

不過一般情況最後很少在取指數，其原因可分為兩種

第一，一般認為資產價格$A_t$是連續變動的，因此可以表示為

\[
A_t=A_0 e^{r t}
\]

其中$r$為"瞬時"成長率，從上式可以看到若將資料取對數差分後即可以得到"瞬時"成長率$r$。而一般我們在計算的成長率是"平均"成長率，例如時間單位是年的話就是"平均"年成長率；時間單位是月的話就是"平均"月成長率。

第二，就數學上而言，當$x$很小時，如$x=0.01$，$e^x$的近似值可視為$1+x$，因此與變動率值相差不遠。